Schrijvers Beweis Von Maders Satz

In der Arbeit von Schrijver [3] wird die folgende Formulierung von Maders Satz aus [2] bewiesen (siehe Satz 1). Wir werden skizzieren wie man aus diesem Satz die Formulierung von Maders Satz über kreuzungsfreie H-Wege (siehe Korollar 2) herleiten kann. Eine Menge P von Wegen in einem Graphen G = (V,E) ist kreuzungsfrei, wenn die Schnittmenge der Eckenmengen zweier unterschiedlicher Wege aus P eine Teilmenge der gemeinsamen Endecken beider Wege ist. Einfacher ausgedrückt zwei Wege sing kreuzungsfrei wenn sie sich höchstens in ihren Endecken schneiden. Darüber hinaus ist P (ecken)disjunkt, wenn keine zwei Wege eine gemeinsame Ecke haben. Sei S eine Menge von paarweise disjunkten Teilmengen von V . Ein S -Weg ist ein Weg in G, deren Endecken in unterschiedlichen Mengen aus S liegen. Insbesondere enthält jeder S -Weg mindestens eine Kante. Für einen Graphen G = (V,E) und eine solche Menge S sei πG,S die Kardinalität einer größten Menge von disjunkten S -Wegen in G. Satz 1 gibt eine Darstellung von πG,S als Minimum eines Parameters von speziellen Partitionen von G. In den Partitionen hier ist die leere Menge als Partitionsklasse zugelassen. Eine Partition Z = {X,Y1, . . . , Yk} von V , d. h. X∪̇Y1∪̇ . . . ∪̇Yk = V , überdeckt alle S -Wege (kurz Z ist S -überdeckend) falls jeder S -Weg in G der X vermeidet, d. h. keine Ecke aus X enthält, eine Kante enthält, dessen beide Endecken in einer der Mengen Yi enthalten sind. Für Yi sei ∂Z ,S Yi die Menge der Ecken aus Yi die entweder in S = ⋃ S liegen oder einen Nachbarn in einer anderen Menge Yj mit j 6= i haben ∂Z ,S Yi = {y ∈ Yi : y ∈ S oder NG(y) \ (X∪̇Yi) 6= ∅} .